Polynôme annulateur - Math'φsics

Polynôme annulateur

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Définition

Définition :
Soit \(P(X)=\sum^n_{i=0}a_iX^i\) un polynôme de degré \(\leqslant n\) et soit \(A\) une matrice de taille \(k\times k\)
Alors \(P(A)=\sum^n_{i=0}a_iA^i\) est une matrice
On dit que \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\) si \(P(A)\) est une matrice nulle

(Polynôme de matrices)

Proposition :
Si \(A\) est une matrice de taille \(k\times k\), alors il existe un polynôme annulateur de \(A\) non nul de degré \(\leqslant k^2\)

(Degré)

Consigne: Montrer que si \(A\) est une matrice de taille \(k\times k\), alors il existe un polynôme annulateur de \(A\) de degré \(\leqslant k^2\)

Poser l'espace des matrices de taille \(k\times k\)
Soit \(E\) l'espace vectoriel des matrices de taille \(k\times k\)
Alors $$\operatorname{dim} E=k^2$$

Les éléments du polynôme sont en trop grand nombre comparé à la dimension de \(E\) \(\to\) dépendance entre vecteurs

Prenons \(A\in E\)
Alors on a \(\operatorname{Id},A,A^2,\ldots,A^{k^2}\in E\), soit \(k^2+1\) éléments de \(E\)
\(k^2+1\lt k^2\) donc ces éléments sont dépendants
Alors il existe \(a_0,\ldots,a_k\in{\Bbb R}\) non nuls tels que $$a_0\operatorname{Id}+a_1A+\ldots+a_kA^k=0\in E$$
La proposition est donc démontrée

(Vecteurs linéairement dépendants)

Il y a l'implication : $$\begin{align} {{\mu_2A^2+\mu_1 A+\mu_0\operatorname{Id}=0}}&\impliedby {{P_A(X)=\mu_2X^2+\mu_1 X+\mu_0}}\\ {{\sum^n_{i=0}\mu_iA^i=0}}&\impliedby {{P_A(X)=\sum^n_{i=0}\mu_iX^i}}\end{align}$$

Opérations sur les polynômes annulateurs

Produit par un scalaire

Si \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\), alors \(\lambda P\) est un polynôme annulateur de \(A\)

(Produit d’un polynôme par un scalaire)

Ensemble

Notation

On note $$A_{nn}(A)$$ l'ensemble des polynômes annulateurs de \(A\)

Non égalité avec l'ensemble nul

On a toujours $$A_{nn}(A)\neq{{\varnothing}}$$

Sous-espace vectoriel

\(A_{nn}(A)\) est un sous-espace vectoriel de \({\Bbb R}[X]\)

(Ensemble des polynômes, Espace vectoriel)

Unicité

Pour \(A\) donné, il existe un polynôme annulateur unitaire et non nul et il est unique

(Polynôme nul, Polynôme unitaire - Polynôme normalisé)

Exercices

Consigne: Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(f\) et si \(P\) est un polynôme annulateur de \(f\), alors \(\lambda\) est racine de \(P\)

Définition d'une valeur propre
Si \(\lambda\) est une valeur propre, alors $$\exists v\neq0,\quad f(v)=\lambda v$$

On a : $$P(f)\cdot v=P(\lambda)\cdot v$$

Or, puisque \(P\) est annulateur de \(f\), on a \(P(f)=0\)
Puisque \(v\neq 0\), on en conclut \(P(\lambda)=0\)
Donc \(\lambda\) est bien racine de \(P\)

(Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre)

Consigne: Montrer que si $$f^2-2f+\operatorname{Id}=0$$ alors \(1\) est valeur propre de \(f\)

Appliquer une identité remarquable
$$f^2-2f+\operatorname{Id}=0\iff(f-\operatorname{Id})^2=0$$

Donc $$\operatorname{det}(f-\operatorname{Id})=\operatorname{det}((f-\operatorname{Id})^2)=0$$
Donc \(1\) est valeur propre de \(f\)

(Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre)

Consigne: Que peut-on dire de l'endomorphisme d'un \(K\)-espace vectoriel de dimension finei annulé par les polynômes \(P=1-X^3\) et \(Q=X^2-2X+1\) ?

Recherche du polynôme minimal \(\to\) conclusion

Le polynôme minimal divise \(P(x)=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) et \(Q(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\)
La seule valeur propre sur \({\Bbb C}\) est donc \(1\), de multiplicité \(1\)
Donc \(E_1=\ker(f-\operatorname{Id})=V\)

(Polynôme minimal d’une matrice)
Rétroliens :